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[原创] 数学世界的进化论与人工智能

[ 2007-02-15 10:12:44 ]
　　引言/提要：“深蓝”击败国际象棋冠军不是人工智能的胜利；真正的人工智能是怎样的；客观存在的数学世界，是真正人工智能产生的基础；以达尔文的进化论，寻求真正的人工智能；进化图灵机；进化形式系统；计算机软件的自然进化。

　　关键词：客观数学世界，进化论，人工智能，图灵机，形式系统，软件进化

目录：
　　一、数学世界及人工智能的问题
　　1、目前的人工智能不足以超越人类智慧，不算是真正的人工智能。
　　2、真正的人工智能是怎样的？
　　3、数学世界是客观存在，还是主观思维的产物？
　　4、作者关于如何实现真正人工智能的一些思路。
　　二、进化图灵机
　　1、TM的概念。
　　2、ETM的概念。
　　3、有关ETM的若干问题。
　　三、进化形式系统
　　1、FS的概念。
　　2、EFS的概念。
　　3、给出一个EFS解决人工智能问题的特例：机器人摘香蕉的例子。
　　4、有关EFS的一些定理和推论。
　　四、计算机软件的进化
　　1、进化软件与传统软件的区别。
　　2、进化软件的相关概念。
　　3、软件进化的加速。
　　4、进化软件为何有能力超越人类智慧？
　　5、软件自然进化的现实可行性与远景。
　　五、结束语
　　
声明：
　　本文所引用别人的文字，或者借鉴别人观点，用自己的话描述出来的地方，均在正文相应位置标明了出处。其余部分，均为本文作者原创。
　　引用或借鉴别人观点的地方主要有：
　　1、目前的人工智能不足以超越人类智慧。
　　2、数学世界是客观存在的，而不是主观思维的产物。
　　3、达尔文的进化论。
　　4、传统图灵机的概念。
　　5、传统形式系统的概念。
　　本文作者的原创内容主要有：
　　1、“深蓝”击败国际象棋冠军不是人工智能的胜利。
　　2、真正的人工智能是怎样的。
　　3、客观存在的数学世界，是真正人工智能产生的基础。
　　6、以达尔文的进化论，寻求真正的人工智能。
　　7、进化图灵机。
　　8、进化形式系统。
　　9、计算机软件的自然进化。
　　由于作者水平有限，未能深入探讨，也难免有疏漏之处，还请老师多多批评指正。
　　
正文：

　　一、数学世界及人工智能的问题
　　一直以来，数学家、计算机专家都在寻求一种能够代替人类智慧去思考、解决问题的有效方法，称为人工智能。经过多年的努力，取得了可观的成效，但是距离真正能够用人工智能取代人类智慧的目标还十分遥远。
　　
　　1、目前的人工智能不足以超越人类智慧，不算是真正的人工智能。
　　目前的人工智能，全是经过了人类智慧的加工，遵循人的思维推算出去。例如FSPC、FSFC等，无不是类似欧几里德几何体系那样，从公理出发，推导出结果。
　　这样的人工智能，从出发点就已经受到人类智慧的桎梏，因此不可能超越人类智慧。[1]即使只想让这种人工智能达到人类智慧的程度，除非人类智慧发展已到极致，不可能再进步，否则永远只能望尘莫及。
　　IBM的“深蓝”击败了国际象棋冠军，曾被一些人当作是人工智能超越人类智慧的有力证据。而事实上，那只不过是IBM项目组的人把编制好的程序输入给“深蓝”，本质上是合多人的智慧，赢了象棋大师一个人的智慧，甚至可能只是在速度上取胜。
　　因此，目前建立在人类智慧基础上的人工智能，固然能够解决部分实际问题，但严格来说，不能算是真正意义上的人工智能。
　　
　　2、真正的人工智能是怎样的？
　　真正的人工智能，不应该人类想到了什么，它才能想到什么。它应具有与人类相当的智慧，甚至超越人类智慧。人类尚未想到的，它已经事先想到了。
　　真正的人工智能，无疑具有重大的意义。人类可以拥有真正的机器“智囊团”，即使是当前已有的专家系统，也会成为名副其实的专家，能够解决各种问题。
　　既然真正的人工智能不能够建立在人类智慧的基础上，它需要如何产生呢？正如人类需要从地球生命起源说起，人工智能也应从数学世界说起。
　　
　　3、数学世界是客观存在，还是主观思维的产物？
　　所谓数学世界，涵盖了一切数学理论、猜想的总和，不管是已证明还是未证明的，人类已知还是未知的，人类认可还是不认可的。
　　有人认为，数学世界是人类创造出来的，并且存在于人的思维中。例如，欧几里德创造了几何理论体系，于是人脑中多了这个几何体系，数学世界也就多了欧几里德的几何世界。在欧几里德创造它出来之前，数学世界里是没有这个东西的。
　　从哲学的层面讲，这是一种唯心主义的数学世界观。而我更倾向于唯物主义的数学世界观，那就是：
　　数学世界是客观存在的，具有自己的一套自然规律，其规律不以人类的意志为转移。并且，不论人类有没有发现这个客观的数学世界，发现了其中的多少，这个数学世界始终完整地存在。而人脑中所存在的，仅仅是其中已被发现的部分映象。[2]
　　正如牛顿发现万有引力之前，万有引力就一直存在并发挥作用，数学世界也一样。原始人尚未知道数字1、2、3之前，这些数字已存在于数学世界中。康托“发现”集合论之前，集合论已在冥冥之中起作用。从这个意义上讲，不能说数学家“发明”或者“创造”了某某理论，而应该说“发现”了某理论——该理论早已存在于数学世界中了。
　　正是有了客观存在的数学世界，不受人类智慧的影响，真正的人工智能才有了产生的基础。
　　
　　4、作者关于如何实现真正人工智能的一些思路。
　　如果要得到真正的人工智能，不应先经过人类智慧的过滤。不妨设想一下，从客观存在的数学世界出发，直接产生人工智能。人类的作用，仅仅是发现其中的一些客观数学规律，未发现并不意味着错误或不存在。正如物理学家观察宇宙，发现经典力学、发现相对论、发现量子力学那样。
　　本人试图借鉴达尔文的进化论[3]，寻求客观数学世界基础上真正的人工智能。从达尔文的理论中，通过遗传、变异、优胜劣汰等，物种从低等进化到高等，直至出现人类，出现人的智慧，这个过程给予我们有益的启迪，可能会帮助我们有朝一日找到（注意不是“创造出”）真正的人工智能。

　　二、进化图灵机
　　以下把传统图灵机简称为TM（Turing Machine），进化图灵机简称为ETM（Evolution Turing Machine）。
　　
　　1、TM的概念。
　　TM是在一条或多条无限长的纸带上，通过移动、打标识、修改标识等有限而确定的动作，以一定的规则运行的虚拟机器。如果TM在有限的步骤内得到目标结果，则相应的问题可计算，且有解。如果问题不可计算，则TM会无限运行下去，没有结束。[4]
　　
　　2、ETM的概念。
　　通过引入进化论的相关概念，我们把TM扩展为ETM。概念解释如下：
　　遗传：ETM象TM那样执行常规动作。此时ETM的表现与TM相同。
　　变异：ETM在常规动作的基础上，随机在某一步发生一个动作改变，变成何种动作也是随机的。此时，ETM变得与TM不一样了。
　　遗传和变异合称为进化（这里把“退化”也视作进化）。
　　宇宙：全体ETM的集合。容易证明，宇宙中包含了TM，因为完全未经变异的ETM就是原来的TM。
　　物种：某一类ETM的集合，通常是具有某些共同性质的同类ETM。
　　筛选规则：用于在宇宙中筛选ETM，规则可以是客观规律，也可以是人为规则。
　　自然选择：以客观规律作为筛选规则。例如物种的一致性、完全性、完备性等。
　　人工选择：加入人工确定的筛选规则。例如“有限步骤”作为筛选规则，要求ETM在多少步之内要有结果。
　　ETM的进化结果有三种：生存、淘汰、存活。
　　生存：针对某一个或一类特定问题，ETM求解成功。
　　淘汰：ETM被筛选规则排除掉。
　　存活：ETM未被淘汰，又未能确定其结果是生存。
　　
　　3、有关ETM的若干问题。
　　问题一：ETM有何意义？
　　其意义就在于ETM懂得自主创新，不完全按约定的动作指令运行。
　　例如，火星登陆车搁浅，与地球失去联络，且原有程序不能走出困境的时候，ETM有可能自行找到解决办法。
　　又如，现在费马大定理已经得到证明。假设在人类尚未成功证明的时候，ETM有没有可能“灵机一动”，得出这个数学难题的证明呢？
　　
　　问题二：ETM会不会与TM在本质上相同？
　　ETM的产生机制和TM是完全不同的，ETM基于客观数学世界，TM基于人类智慧，ETM用到了进化论中的变异、优胜劣汰等方式。直观而言，ETM与TM在本质上应该是不同的，但尚未得到严格的证明。
　　
　　问题三：ETM是否比TM能力更强？能否实现真正的人工智能？
　　如果上一个问题最终被证明，ETM与TM在本质上相同，那么这个问题不必再问。因为这种情况下ETM和TM能力一样强，无法实现真正的人工智能。
　　但如果上一个问题证明了ETM与TM本质上是不同的，则ETM将很有希望实现真正的人工智能。
　　后面两个问题，有待进一步深入探讨。

　　三、进化形式系统
　　以下把传统形式系统简称为FS（Formal System），进化形式系统简称为EFS（Evolution Formal System）。
　　
　　1、FS的概念。
　　详细的FS定义是一个五元组：
　　FS = {Σ, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}
　　其中Σ是符号表，TERM是常元、变元（合称为项）的集合，FORMULA是公式集， AXIOM是公理集，RULE是推理规则。[5]
　　FS的基本原理，就是一开始人为地确定了公理、推理规则和其他要素，然后从公理出发，通过推理规则演绎出整个FS。因此，FS也是建立在人类智慧的基础上的。
　　
　　2、EFS的概念。
　　EFS是由穷举扩展（称为宇宙大爆炸）、筛选规则（包括自然选择、人工选择）进化而成。我们定义EFS是一个三元组：
　　EFS = {Σ, FORMULA, CHOICE}
　　其中Σ是符号表，FORMULA是公式集，CHOICE是筛选规则。
　　注意EFS与FS的不同：FORMULA中的公式，不是按一定的规则形成的，而是用Σ的所有元素，以穷举法排列组合而成。显然，有可能出现一些莫名其妙的公式，但也存在有意义的公式。
　　此外，EFS的定义中，没有TERM、AXIOM和RULE，只有筛选规则CHOICE。需要的话，可以把TERM、AXIOM和RULE放入CHOICE中，但CHOICE的功能强得多，决不仅限于这三种规则。
　　
　　EFS的相关概念：
　　遗传：从一个EFS完整复制出另一个EFS，因此性质与原来的EFS也完全相同。
　　变异：在EFS的定义三元组中，随机增加、减少、改变其中的某种要素，例如Σ中某个符号、FORMULA中某个符号、CHOICE中某项规则等。
　　遗传和变异合称为进化。
　　宇宙：全体EFS的集合。
　　宇宙大爆炸：以穷举法生成整个宇宙的过程。事实上，EFS进化的结果，同样可以通过宇宙大爆炸产生。不过通过进化，可以更容易得到形式近似（性质也可能类似）的EFS。
　　时空：又称子宇宙，是某一类EFS的集合，通常是具有某些共同性质的同类EFS。
　　筛选规则：用于在宇宙中筛选EFS，规则可以是客观规律，也可以是人为规则。
　　自然选择：以客观规律作为筛选规则。例如EFS的一致性、完全性、完备性等。
　　人工选择：加入人工确定的筛选规则。例如把FS的公理、推导规则（都是人类制定出来的）加入到CHOICE中，就是人工选择。
　　对于整个宇宙而言，每个EFS的宇宙大爆炸结果（含进化结果）有两种：生存、淘汰。
　　生存：EFS通过了筛选规则而保留下来。
　　淘汰：EFS被筛选规则排除掉。
　　对于针对某一个或某一类特定问题求解的EFS，一般采用进化方式，比宇宙大爆炸产生EFS更快速。其进化结果有三种：生存、淘汰、存活。
　　生存：EFS成功求解。
　　淘汰：EFS被筛选规则排除掉。
　　存活：EFS未被淘汰，又未能确定其结果是生存。
　　
　　3、给出一个EFS解决人工智能问题的特例：机器人摘香蕉的例子。
　　问题：为机器人编排一个动作规划，使它能走动，搬动一张椅子，登上椅子，取到挂在天花板上的香蕉。
　　如果是FS，可以用一阶逻辑归结原理解决此规划生成的问题。而EFS的求解方法完全不同。
　　首先，在宇宙大爆炸中，形成所有机器人摘香蕉的EFS集合，即一个时空。此处已经出现一个筛选条件：机器人摘香蕉，具体就是有关上述问题已知条件的符号化筛选。筛选的结果，是FORMULA形成一个动作、状态公式序列。
　　然后，给出筛选条件：机器人在有限步骤内（步数是某个确定值），不能摘到香蕉，则被淘汰，摘到香蕉则生存。由于机器人能源有限，或机件老化，此筛选条件应属自然选择。
　　还可再加入人工选择的筛选条件：如果在公式序列中，机器人重复了一个相同的状态，例如光是来回走动，表明机器人不够聪明，被淘汰。
　　经过上述筛选条件，生存下来的EFS（可能有0个至多个）就是问题的解。FORMULA中的公式序列，就是正确的动作规划。
　　
　　4、有关EFS的一些定理和推论。
　　定理1：EFS的宇宙中，包含所有FS。或者说：对于任何FS，都存在等价的EFS。
　　证明：设FS’ = {Σ, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}是任一FS，由于所有EFS是宇宙大爆炸中以穷举法生成的，所以必然能够找到Σ与FS相同的EFS’。
　　把FS’的TERM, FORMULA, AXIOM, RULE全部加入到EFS’的筛选条件CHOICE中，并且CHOICE中没有任何其他筛选条件，经过此人工选择，EFS’会表现出与FS’一样的形式，包括公式、公理、推导规则、定理等都相同。因此，EFS’ 与FS’在形式上等价。
　　由于两者形式上等价，则对于FS’的任意语义，同样可以套用在EFS’上，于是EFS’ 与FS’在语义上也等价。证毕。
　　
　　特例：找到与FSPC的Σ相同的EFS，再把FSPC的TERM, FORMULA, AXIOM, RULE全部加入到EFS’的筛选条件CHOICE中，就得到EFSPC。它与FSPC等价，同样也具有FSPC的一切性质，例如一致性、可判定性、合理性、完备性、紧致性等。
　　
　　推论1：一切FS都可由EFS宇宙筛选得到。当然，这种筛选是人工选择。
　　
　　定理2：EFS的宇宙范围，超出所有FS的范围。或者说：存在EFS，使任何FS都不能于之等价。
　　解释：EFS中并未要求有公理、推导规则，只是允许FS的公理、推导规则加入到筛选条件CHOICE中。而且，EFS的公理、推导规则可以是空集（或部分缺失），但定理、演绎结果仍然成立。这是由EFS的产生机制决定的。公式成立是筛选的结果，其现实意义是公式代表了某个事实，相当于FS中的公理。现实中有两句话切合了筛选条件的含义：
　　“事实是检验真理的唯一标准。”“黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。”
　　证明：我们通过证明，存在符合哥德尔不完备性定理的条件，但又具有完备性的EFS。显然，这样的完备性FS并不存在。从而证明存在EFS与任何FS都不等价。
　　根据哥德尔不完备性定理，若FS中包含初等数论形式系统，且是一致的，则存在该FS的公式A，它是初等数论的真命题，但A与┐A都不是FS的定理。
　　由上述定理1可知，存在与该FS等价的EFS，A与┐A都不是该EFS的定理。假设S是EFS中所有满足上述条件（A与┐A都不是定理）的公式A的集合。
　　把EFS进行遗传，复制出EFS1、EFS2和EFS3，再分别加入如下筛选条件：
　　1)S中所有元素都不是EFS1的公式。
　　2)S中任一元素都是EFS2的孤立公理，不能运用任何推理规则。
　　3)S中任一元素要么不是EFS3的公式，要么是EFS3的孤立公理。
　　这样，EFS1、EFS2和EFS3都具有完备性。
　　显然，由于FS的不完备性，没有任何FS与EFS1、EFS2或EFS3等价。证毕。
　　EFS1、EFS2包含在EFS3中，或者说，EFS1、EFS2都是EFS3的缩减版。这是由筛选条件的差别造成的。
　　
　　推论2：哥德尔不完备性定理对于EFS并不成立。
　　根据哥德尔不完备性定理，在FS中把A与┐A都不是定理的公式A加入到公理中，生成新的FS，这时又会出现新的这样的公式A’。而在EFS中，筛选条件允许剔除这样的公式A，也允许其作为孤立公理存在，不再推导出新的定理或产生新的公式，于是FS中那种无休止的情况不再出现。EFS的这种容纳特例的性质，与自然界中存在个别特殊例子的情况，有异曲同工之处。
　　
　　可见，EFS的能力强于FS，某些EFS没有等价的FS。
　　EFS与FS有着本质的区别，EFS是以客观数学世界为基础，通过进化论的方法得到的，不受人类智慧的干扰（人工选择除外）。而EF是在人类智慧的基础上演绎而成的，不可能超越人类的智慧。因此，EFS有可能产生真正的人工智能。

　　四、计算机软件的自然进化
　　1、进化软件与传统软件的区别。
　　传统软件是由人工编写而成的，即使是所谓的“自动编程”，也不过是建立在底层人工编程的基础上，作模块化的装配。不可想象，尚未有任何人类想出某个算法之前，计算机已经自动编制出了该算法的正确程序。如前所述，这种人工基础上的软件开发，不可能实现真正意义上的人工智能。
　　进化软件则完全不是人工编写，而是由所有计算机代码的排列组合形成的集合（称为软件世界的宇宙大爆炸），再经过一定的筛选条件（自然选择、人工选择），对代码进行优胜劣汰而得到的。这种产生机制，与前面所述的ETM、EFS相类似。
　　
　　2、进化软件的相关概念。
　　遗传：传统计算机病毒具有自我复制能力，可视作进化软件范畴内的遗传。
　　变异：有部分计算机病毒在人为干预下可产生变种，这仅仅是人工变异。自然变异是随机发生在程序中的代码变化，不是人为引起的。
　　遗传和变异合称为进化。
　　宇宙：全体计算机代码的集合。
　　宇宙大爆炸：以穷举法生成整个宇宙的过程。事实上，软件进化的结果，同样可以通过宇宙大爆炸产生。
　　时空：又称子宇宙，是某一类程序代码的集合，通常是具有某些共同性质的同类程序。
　　筛选规则：用于在宇宙中筛选程序代码，同样分为自然选择和人工选择。
　　自然选择：以客观规律作为筛选规则。例如程序代码不能有语法错，不能导致运行崩溃。
　　人工选择：加入人为确定的筛选条件。例如程序要完成某个人为要求的特定任务。
　　每个程序代码的宇宙大爆炸结果（含进化结果）有三种：生存、淘汰、存活。
　　生存：程序通过了筛选条件，被保留下来。
　　淘汰：程序被筛选条件排除掉。
　　存活：程序未被淘汰，又未能确定其结果是生存。
　　优胜劣汰条件：是更进一步的筛选条件，要求在生存下来的程序中，筛选出最好（或近乎最好）的一小部分，其余程序淘汰。“最好”的含义似乎具体情况而定。
　　
　　3、软件进化的加速。
　　对于复杂功能程序，要生成并找到生存的进化程序，现实可行性很低。为此，可采用DNA、染色体的概念，加速程序的进化。
　　一开始的宇宙大爆炸，生成所有程序代码，由于程序代码无穷无尽，这在现实中是不可行的。即使仅仅要求适可而止，一旦发现生存的程序就停止爆炸进程，要想得到复杂功能程序，仍然需要漫长的进化，甚至遥遥无期。
　　加速进化的方法是：宇宙大爆炸初期，生成简单的代码，经过筛选条件，未被淘汰的代码称为DNA。这些DNA成为构造复杂程序的子模块。DNA的不同排列组合，就构成不同的程序，称为染色体。染色体的再排列组合（实质上仍然是DNA的排列组合），构成更复杂的染色体。
　　在这种DNA、染色体的进化过程中，筛选条件一直在起作用，但条件并不是一成不变的。组成的程序越复杂，实现条件越严格。对DNA不采用优胜劣汰条件，以免错过了有前途的DNA。染色体则开始优胜劣汰，以便缩小排列组合的规模。否则，如果一开始就把复杂功能程序的筛选条件，用在低等的DNA上，DNA早就全被淘汰了。
　　可以证明，由DNA构造出来的染色体，理论上全都可以从宇宙大爆炸中产生出来。但是，先经过优胜劣汰而生存下来的DNA，生存能力得到验证。由它们构造出来的染色体，再进行优胜劣汰，再继续构造染色体。这样一步步进化的速度，远远超过完全依靠宇宙大爆炸（穷举法）的进化速度。
　　而且，这些生存下来的DNA和染色体，即使回到传统计算机软件（人工编码）的范畴，仍具有可重用性，可以直接作为有用的程序模块，加入到人工编写的软件当中。
　　
　　4、进化软件为何有能力超越人类智慧？
　　或许有人有疑问：本文的作者就不是人类？这样的进化软件，不仍然是人类想出来的吗？怎能超越人类智慧？谈何实现真正的人工智能？
　　请注意进化软件的生成机制，那是人类“发现”的软件，而不是“创造”出来的软件。类似于达尔文发现地球上各物种，我们能说物种是他“创造”出来的吗？他又能不能肯定日后会进化出什么样的新物种，在某些能力上会否超过人类（例如飞翔）？
　　如上所述，计算机软件在宇宙大爆炸、DNA、染色体、优胜劣汰等一系列进化过程中，有可能出现真正的人工智能软件。由于软件的生成是自动的，不受人为因素影响（人工选择除外），理论上可以进化形成人类还根本未曾想到的有效软件，甚至有可能比人类编写的软件更先进。
　　
　　5、软件自然进化的现实可行性与远景。
　　目前，计算机软件的自然进化，还只是一个理想的概念。以当前计算机的运算能力，进化软件要真正实用还很遥远。而一旦运算能力有了突破性进展，例如量子计算机诞生，进化软件很有希望成为现实。
　　理论上，量子计算机若要破解目前基于数论的加密算法，速度很快。其原理类似于细胞分裂，单位时间内的运算量会呈几何级数增长。因此，即使用穷举法暴力破解密码，也是轻而易举。
　　而量子计算机这种迅速膨胀的运算速度，恰好能满足进化软件大规模产生和筛选的运算需要。因此可以预期，进化软件可以伴随着量子计算机的诞生而进入实用阶段。
　　当然，现在的量子计算机研发进程同样是任重而道远。目前只能做到用激光束“冻住”一个量子微粒的实验室成果，远未能构造出量子逻辑运算部件（相当于电子计算机的逻辑门电路）或算术运算部件（相当于电子计算机的运算器）。最乐观的估计，至少也要十年时间，量子计算机才能投入实用。而要使成本降至可以商用，还要再过数年时间。据此估计，目前的加密算法至少在未来十多年内仍是安全的。
　　但无论如何，进化软件很有希望实现真正的人工智能，不应坐等量子计算机面世才着手研发。进化软件也不是非要依赖量子计算机不可。只要运算能力足够，或者有优化的DNA遗传变异算法，进化软件的研发就有可能取得局部成果。现在就可以尝试随机自动生成简单的程序模块，筛选出有用的或者好的模块，用于传统软件的组装。

　　五、结束语
　　人工智能是一个意义重大的研究课题，一旦取得成功，将有相当高的实用性，值得我们去积极研究。本文提出“真正的人工智能”的含义，认为如果以人类智慧为基础，不可能产生真正的人工智能。并且，借鉴达尔文的进化论，提出有可能实现真正人工智能的思路，希望能够抛砖引玉，产生更多有用的成果。
　　同时，作者估计，即使真正的人工智能软件已经产生，由人类编写的传统软件也不会一场而消亡。两者会长期共存共生，并行不悖，不存在谁取代谁的问题。正如自然界的进化和人类的克隆、基因改造同时存在于地球上，各有各的意义。
　　毕竟，人类智慧中的创造力始终是很有用的。
　　

龙之梦
2006.7.1

　　
注释：

　　[1] 出自《皇帝的新脑》，2004年，湖南科学技术出版社，罗杰·彭罗斯著，许明贤、吴忠超译。网上链接：http://202.113.227.137/songz/index/ebook/chn/830.htm 至 http://202.113.227.137/songz/index/ebook/chn/840.htm

　　[2] 出自《皇帝的新脑》第三章之中：数学概念的柏拉图实在。

　　[3] 出自《物种起源》，查理·罗伯特·达尔文著，周建人、叶笃庄、方宗熙译。网上链接：http://www.med8th.com/readingroom/wzqy/default.htm

　　[4] 出自论文《可计算数学》，1936年，图灵著。

　　[5] 出自《计算机逻辑学导论》，2000年，华南理工大学计算机系教材，齐德昱著。